Čtyřikrát triumfoval na mistrovství světa a šest titulů získal na evropském šampionátu. Během kariéry také vytvořil 31 světových rekordů.

„Zemřel dnes ráno. Jurijův přínos světovému sportu a samozřejmě vzpírání byl ohromný,“ uvedl předseda ruské vzpěračské federace Maxim Agapitov.

„Ztělesňoval nejen sport, ale byl zářným příkladem i jako spisovatel a politik. Jeho příspěvek sovětskému sportu a vzpírání byl neocenitelný,“ dodal.

Na vrcholu kariéry patřil Vlasov mezi světové sportovní celebrity. V SSSR vyšla na počest jeho triumfu v Římě poštovní známka. Za svůj vzor označoval brýlatého vzpěrače někdejší kulturista a později slavný herec Arnold Schwarzengger, který se s Vlasovem poprvé setkal ve 14 letech na MS ve Vídni a poté ještě několikrát.

Po konci vzpěračské kariéry, za kterou posbíral řadu významných sovětských vyznamenání, se Vlasov věnoval žurnalistice a psaní knih. Vyšlo mu 15 románů a deset novel.

Od roku 1985 byl předsedou sovětské vzpěračské federace a zasloužil se také o rozvoj kulturistiky v SSSR. Koncem 80. let byl poslancem za komunistickou stranu, z které později vystoupil a přidal se k opozici. V roce 1996 neúspěšně kandidoval na prezidenta.